13. 다변수 미적분학 (상)

∫지난시간

 

미적분학의 기본정리(FTC) : ∫(a,b) f'(x) dx = f(b) - f(a) 

 

FTC의 함의: 열린 구간(a,b)의 양 끝점 a,b의 두 함숫값f(x) 의 차가 열린 구간 (a,b) 위에 주어진 f'(x)의 그래프의 면적의 크기와 같다.

 

cf) 왜 열린 공간에서 정의를 할까? 연속이지만 미분 불가능한 경우(Ex) 절댓값 함수)를 베제하기 위함일 뿐 큰 의미는 없다.

 

 

 

시작하기 전에

 

이번 장에서는 내적을 결정하는 행렬로 항상 항등행렬을 사용할 것이다. 이는 유클리드 세계관 안에서 논지를 이어가기 위함일 뿐 항등행렬을 꼭 내적을 결정하는 행렬로 정해야할 당위 따위는 없다. 다음 장부터는 항등행렬 대신 다양한 행렬을 넣어보며 더 넓은 수학적 세계관들을 알아보는 시간을 가져볼 예정이다.

 

 

 

Gradient Vector의 직관

일변수 함수 미분법에서는 f'(x)는 접선의 기울기를 의미 했다.

 

마찬가지로 곡면을 이해할 때 xy평면을 마치 일변수함수의 x축으로 간주하면 그림을 좀더 직관적으로 이해가능하다.

 

(x,y)에 따라 z좌표(f(x,y))가 결정되고 결정된 (x,y,f(x,y))를 지나는 벡터(그래디언트)를 할당한 그림이다.

 

 

 

그래디언트 백터

 

곡면 위에서의 접벡터를 의미한다. 

 

 

 

자연스럽게 들 의문) 그래디언트 벡터를 어떻게 찾을까?

 

(x,y,f(x,y))는 3차원 상에 존재한다. 즉 이론적으로는 벡터가 어느 방향이든 향할 수 있다. 이런 상황에서 그래디언트 벡터가 가르키는 방향을 어떻게 구할 수 있는가? 라는 의문이 드는 것은 지극히 자연스럽다. 답을 하자면

 

주어진 set 내에서 제일 가파른 방향을 향한다. 곡면 위에 공을 놓는 상황을 가정하면 공이 떨어지는 방향으로 그래디언트 벡터가 할당된다. 위의 예시에서 알 수 있듯이 곡면은 그래디언트 벡터를 할당에 어려움이 적다.

 

만약 꼬불꼬불하다던가 모양이 복잡해지면 알고리즘을 계산해야 되는데 번외로 수학자들은 그 방향으로 갈 수 밖에 업다는 당위성을 증명해야 되는 어려움이 있다. 그래서 그런지 ml, 통계 쪽 사람들은 그냥 잘 굴러가면 좋은게 좋은 것이다 라고 퉁치고 넘어가는 경향이 있다고 불평을 한다, (내가 보기엔 그냥 그렇게 넘어갈 수 있어서 부러운 것 같다.)

 

 

 

상상을 위한 그림들

그림이해 (일변수 상황에서의 확장)

1) xy평면 위에 곡선이 놓여있다. (기존: x축 위에)

 

2) 각 점마다 gredient 벡터가 있다. (기존:각 점마다 f'(x)가 있었다.)

 

일변수 적분법에서는 양 끝의 x값을 대입한 뒤 차를 통해 적분 값을 구했다. 그렇다면 긱 gredient 벡터들을 적분하려면 어떻게 해야 될까?라는 의문을 가진 상태로 이야기를 따라오길 바란다,

 

수학자들은 일변수 상황에서 다변수 상황으로 확장됨에 따라 (내부를 배제한) 경계면이 새로운 양 끝값의 차(기존의 적분법)의 역활을 대신 할 것 같다는 생각을 함(매우 중요!!)

 

 

 

 

 

그림이해 (위의 그림에서의 확장)

1) 폐곡선( 종점과 시점이 일치)

 

2) 내부 영역을 포함하여 각 점마다 벡터가 주어져 있다.

 

그래디언트 벡터를 전부 적분했을 떄 경계면의 벡터만이 남을 거 같다는 기대를 할 수 있다.

 

 

 

재밌는 이야기(상상력을 발휘 할 것!!)\

상식

0차원: 점 

1차원: 선

2차원: 면

 

FTC(∫(a,b) f'(x) dx = f(b) - f(a) ) 에서 좌변은 몇 차원인가? 1차원이다. 우변은 몇차원인가 0차원이다.

 

위의 그림을 보면 그림 자체는 2차원이다. 그렇지만 경계면 만을 관찰하면 1차원이다. 와쿠와쿠

 

그림이해 ( 위의 그림에서의 확장, z축을 따라 올려줌)

1)곡면이 주어져있다.

 

2)곡면 위의 각 점마다 벡터가 주워져 있다.

 

그림이해 ( 위의 그림에서의 확장)

1) 곡면의 내부가 채워져 있다.

 

2)3차원 곡면의 각 점마다 벡터가 주워져 있다.

 

 

 

그림을 더욱 정교하게 이해하기 위해 필요한 3개의 선행지식

 

1.  그래디언트 벡터(▽F)의 확장

 

f:|R^3 --> |R, f = f(x,y,z) 에서 ▽f := (∂f/∂x. ∂f/∂y. ∂f/∂z) 이다.

 

cf) := 이 기호는 python에서는 바다코끼리 연산자라고 불리는 녀석인데 수학에서는 ~로 정의한다. 라는 뜻이다.

 

 

 

의미

 

각 점 위에서 f로 만든 곡면 위에서의 접벡터를 의미한다.(다만 4차원 공간에 그려지기에 그림을 그릴 수 없다.)

 

 

 

2.  f:|R^2-->|R^2의 회전 (curl)

f = (f1(x1,y1), f2(x2,y2)), fi:R|^2 --> |R(i=1,2)에 대해

 

f의 회전은 ∂f1/∂x.- ∂f2/∂y.로 정의한다.

 

좀더 식을 설명하면 식 자체는 |R^2-->|R^2 이지만 f의 x성분 y성분 각각은 R|^2 --> |R 인 것이다.

 

또 주목할 포인트는  ∂f1/∂y1.- ∂f2/∂x2 인데,  x성분의 회전 정도를 결정하는 것은 y이고 y성분의 회전 정도를 결정하는 것은 x 값이라는 점이다.

 

 

 

기하적 이해

 

1) ∂f1/∂y1 

 

2)- ∂f2/∂x2

3) ∂f1/∂y1.- ∂f2/∂x2

직관적으로 반시계 방향으로의 순간 회전을 의미함을 파악할 수 있다.

 

 

cf) 왜 '순간'회전이라는 표현을 쓰는가?

 

미분 자체의 의미가 순간적으로 변화하는 양을 말한다. 그리고 편미분도 미분이야!!! 

 

 

 

회전(curl)의 확장 (▽ x f)

 

f= (f1, f2, f3):|R^3 -->|R , 에서

 

▽ x f := ∂f3/∂y.- ∂f2/∂z, ∂f1/∂z.- ∂f3/∂x , ∂f2/∂x.- ∂f1/∂y 이다.

 

 

 

기하적 직관

각 축을 기준으로 회전하는 양을 성분으로 하는 벡터임을 알 수 있다.

 

 

cf) 이 시점에서 f:|R^2-->|R^2의 회전 (curl)에서의 curl의 정의를 보면 z축을 기준으로 회전하는 형태임을 눈치챌 수 있다.

 

 

 

3. 발산(divergence)

 

전에 설명한 적이 있어서 생략

 

 

 

conclusion)

다양한 상황을 이해하기 위해 그래디언트, curl, divergence를 이해하고 넘어갈 필요가 있었다. 또한 확장된 도형들의 적분값을 구하기 위해선 경계면에 주의를 기울여야 함을 일변함수 적분법을 통해 직관적으로 알게 되었다. 지금 우리의 목표는 다변수 미적분을 직관적으로 이해하는 데 있다. 그리고 그 기준은 FTC이다.

 

이번 장에서 다룬 내용은 FTC의 좌변에 f'(x)를 대체하는 작업을 하기 위한 선행지식인데.결론적으로 f'(x)를 그래디언트, curl, div로 대체할 수 있다.

 

 

FTC가 다변수 상황에서는 어떻게 확장될지 상상해보기를 권하며 글을 마친다. 다음장에서 봅시다.