9. 미분의 의미와 정의(Differentiation)

지금까지 

 

○ 공리 체택하여야만 이후 수학적 논리를 진행시킬 수 있다, 

○ 군의 관점에서 본 함수의 정의,합성,역함수의 존재성

○ 선형 연산, 벡터 공간, 선형 함수; 행렬의 도입

○ 역행렬과 행렬식, 평행사변형의 면직이라는 기하적 성질을 가짐

○ 벡터의 크기와 각을 결정짓는 행위는 내적의 특성임

 

○ 내적은 이에 대응하는 행렬 (a b)를 결정짓는 행위이며 이 행렬은 언제나 QDQ-1형태와 같다.(무지개 정리)

                                                b c

이떄 Q=(v1,v2), D = ( λ1 , 0) 이며 v1,v2를 고유벡터, λ1,λ2를 고유치 라고 한다,

                                   0,   λ2

 

같은 |R^2라는 벡터공간에 있는 그림이지만, 내적에 해당하는 행렬의 바뀜에 따라 (1,0)까지의 길이가 root2가 되기도 하고

(1,0)과 (0,1)사이의 각이 90도가 아니게 되기도 한다.

 

오류 수정) 모든 고유치 값에 루트를 씌워줘야함.

 

 

 

도형이 그려지는 과정

 

1) R^2(벡터공간)을 그림.

2) R^2 위의 벡터들을 명시.

cf) 각각의 벡터들은 좌표값은 존재하지만 '선형적인' 관계로 엮여 있을 뿐, 내적을 할당하지 않았기에 길이나 각에 대한 정보는 정해지지 않은 상태이다.

 

 

 

3) R^2 위에 내적(inner product)를 할당. (모양을 결정) 

 

cf) R^2의 생김새는 이 시점부터 결정됨.

 

 

 

4) R^2위의 벡터들을 정량적 관계를 갖는 그림으로 해석

if) 내적이 바뀌면 크기 및 값이 바뀔 것이다. 크기 및 각도는 내적이 정의된 후에 내적을 토대로 정의하는 것이기 떄문이다.

 

comment) 유클리드 공간에서는 항등행렬을 내적으로 할당한다. 항등행렬을 꼭 써야 된다는 당위따위는 없다.

 

 

 

이야기를 들어가기 전에

 

통계학, 머신러닝을 공부하는 분들꼐 z= f(x,y)에 대해 Gradient Vector ▽f의 정의가 무엇이냐 묻는다면

▽f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)라고 답하는 경우가 많다. 그러나 해당 공식은 '유클리드 공간'이라는 전제에서만 참이다.

만약 공간이 평평하지 않다면 위의 공식은 결코 성립하지 않는다.

 

Ex)

이 글의 목표는 미분법의 취지를 이해하고 활용 목적에 따라 그에 맞는 미분법을 골라야 함을 이해하는 것이다.

 

 

 

다양한 미분법들

 

1)The usual(=Euclidean) differentiation (유클리드) 미분   #가장 많이 쓰임. 고등학교 떄 배운 미분법

2)The covaniant differentiation (공변) 미분                        # 주로 상대성이론, 미분기하학에서 사용.

3)The partial derivative (편)미분                                        # 모든 수학에서 쓰임.

4) Stratonovich differentiation(확률변수)미분                    # 확률론, 통계,금융공학

5) The weak differentiation(약)미분                                   # 편미분 방정식에서 쓰임. 

 

 

 

미분법이란

 

임의의 공간 위에 '벡터'를 만드는 방법들

 

Ex) 구를 생각해보자. 

구의 각 점마다 그 점을 시점으로 갖는 벡터를 만들고 싶다.

(당연히 구는 벡터공간이 아니니깐 벡터공간의 원소인 벡터를 만들 순 없음. 그림은 이해를 위한 표시일 뿐)

 

위의 그림이 말이 되기 위해선 각 벡터가 원소로 존재하는 벡터공간들이 주어져야 한다.

 

따라서

구 위의 각 점들이 벡터공간의 원점이 되도록 각 점마다 평면을 만들어 붙힌다.

이러한 평면을 접평면(Tangent space)라 부른다. 접평면들은 벡터공간이고 각각의 접평면엔 구위의 점들이 하나씩 존재하기에 첫 그림이 이제는 말이 된다.

 

추가로) 접평면들 끼리의 교선은 관심 없음. 아직은 내적을 준적 없음.(크기에 대해서는 말할 수 없음)

 

 

더 나아가서 이제 각 접평면들마다 내적들을 할당하자.

모든 점에게 공간 전체의 생김새가 구가 되도록하는 내적들을 주었다. 

 

Q) 아니 점은 무한개잖아요?

 

네 맞습니다. 공간위의 각 점에 있는 모든 접평면한테 다 줘야 합니다. 그래서 정확히는 내적의 모임(리만 매트릭)을 줘야 합니다. 이것은 각 점마다 내적들을 다 모은 것을 지칭합니다. 그리고 리만 매트릭은 각 점마다 내적을 주는 방법에 대한 알고리즘 같은 것이 아니고 그렇게 주었다고 선언한 느낌으로 받아들이셔야 합니다.

 

요약하면, 미분은 공간 위의 각 점에서 공간을 선형화한 접평면에 속한 벡터들을 할당하고 내적을 토대로 정형적 의미를 부여하는 것이다.

 

Q)각 점에 할당되는 내적은 어떻게 구하는 데요?

그래디언트 벡터가 특정 크기로 정해지도록 하는 내적으로 결정합니다.

 

 

삼각형의 내각의 합은 180도가 아니다

 

평면에서 삼각형 내각의 합은 180도 이다. 이 말은 항등행렬을 내적으로 하는 상황이다라는 것을 지금은 이해할 수 있을 것이다.

그러면 가령 구 위에 세점을 찍어놓고 삼각형을 그려본 다음에 내각의 합을 구하면 당연히 180도는 아니다. 이떄 정확한 내각의 합은 미적분학과 선형대수를 가지고 다 답을 할 수 있다.

 

 

 

 

함수의 그래프를 공간으로 바라보기

 

이야기를 계속 진행하자.

 

함수 f: R ----> R (R은 실수 집합)에 대하여 {(x,y)∈R^2 : y=f(x)}을 생각해보면

 

구 위에서 했던 것처럼, 그래프 위의 각 점에서 '접선'을 세울 수 있다.

이때 각각의 분홍색 접섭은 접선과 그래프가 만나는 점을 원점으로 하는 실수축 R로 간주할 수 있다.

각 접선 위에 화살표는 접선의 기울기 값으로 할당하는게 자연스럽다. 이 화살표들을 결정하는 것을 일변함수의 미분법이라고 정의한다.

 

 

 

일변함수 미분법의 정의

 

1) 함수 f: R--->R 에 대해 임의의 0이 아닌 숫자 h에 대해서 두점 (x,f(x)),(x+h,f(x+h))를 고려하자.

두 점 사이에 기울기는 f(x+h)-f(x)/h이다. 이떄 h를 한없이 0에 가깝게 만드는 것을 lim h->0으로 표기한다.

 

이때

값이 존재한다면 우리는 이 값을 함수 f(x)의 미분계수(derivative)라고 부르며 f'(x)로 표기한다.

 

미분계수의 분모 h가 0으로 갈때 분자 역시 0으로 가야만 비로서 분수꼴이 정의될 수 있다.

 

따라서 분자 lim h->0 f(x+h) - f(x) = 0이 되어야 하고 이 식을 조금 수정하면 lim h->0 f(x+h) = f(x)라는 식이 나오는데

이 식은 미분계수가 존재하기 위한 필요조건이다.

 

위의 조건이 만족됐을 떄 f(x)가 x에서 연속이라고 부른다.

 

함수의 미분계수가 존재하려면 적어도 함수는 연속이어야한다. 함수가 연속이어도 미분계수가 존재하지 않을 수 있다

(가령 절댓값함수)

 

 

 

합성함수의 미분법

 

함수를 군의 관점으로 보기위해 합성을 다뤘다. 두함수 f,g가 모두 미분가능할떄 

함수의 합성도 미분가능하다.

 

 

 

Conclusion)

다변수 미분법에 대해 알아보기 위해 일변수 미분법들의 특징을 알아본 것이다.

일변수 미분법에서 봤던 관찰들을 통해 다변수 미분상황에서도 함수가 적어도 연속이기를 기대할 수 있고 또 어떤 함수들이 미분가능하다면 그 함수끼리의 합성 역시 미분가능함을 기대할 수 있다. 일반적으로 미분을 정의하기 위해선 이러한 성질들이 다 따라와야한다. 

 

가령 편미분 중 방향미분법이라는 것이 있는데 이는 미분법이 아니다.왜냐하면 함수가 연속이 아니여도 정의가 잘 되기 떄문이다. 그래서 정의로 선택할 수 없다. 다변수 미분법 그냥 편미분 쓰면 되는거 아님? 이라는 질문을 받는다면 아닙니다. 편미분은 미분법의 정의가 아닙니다 라고 답해주자.

 

 

 

다음시간

 

맥스웰 방정식, 열방정식