4-2) 연습문제 풀이

문제)

1) f,g가 각각 단수 함수 이므로 f(x1) = f(x2)이면 x1= x2,  g(f(x1))= g(f(x2))이라면 f(x1) = f(x2)임이 성립.

 

결국 g ㅇ f(x1) = g o f(x2)이면 x1 = x2임. 이 식을 대우 취하면 정확히 단사함수의 정의가 됨.

 

 

 

 

2) f(x)= y 에서 A의 원소 x가 존재, g(y) = z에서 B의 원소 y가 존재.

 

퓨전!!!

 

g ㅇ f(x) = z인 A의 원소 x가 존재함으로 정의에 따라 g ㅇ f는 전사함수 임.

 

 

 

3) 귀류법을 이용한 증명

 

함수 f가 단사함수가 아니라면 x1과 x2가 달라도 f(x1)= f(x2)인 어떤 원소 x1, x2가 존재함.

 

g ㅇ f(x1)  = g ㅇ f(x2) 가 되기에 조건에 위배됨.

 

그렇기에 함수 f는 단사함수가 되어야 함.

 

 

 

4) f(x) = y라고 하면 g(f(x)) = g(y) = z라는 식을 만들 수 있다. (z는 집합 c의 임의의 원소)

 

이떄 g ㅇ f가 전사함수 이기 떄문에 위의 식을 만족하는 x가 항상 존재한다. x가 항상 존재하면 g(y)가 되는 y가 항상 존재한다.

 

이는 곧 함수 g가 전사함수의 정의를 만족시킴을 말한다.

 

따라서 함수 g는 전사함수이다.